So, Grüß Gott zusammen. Jetzt schauen wir mal, was wir noch in der wenigen Zeit machen können.

Wir hatten das letzte Mal polynomiales Splines kennengelernt, mit dem Schwerpunkt jetzt auf den kubischen Splines.

Als einfachen Einleitungsfall haben wir die Linear-Arns-Splines angeschaut.

Ganz generell verstehen wir unter Polynomialens Splines Funktionen, die auf einer vorgegebenen Zerlegung des Intervals

auf jedem Teilintervall einen festen Polynomgrad k haben und die Glattheit k minus eins über die Knotengrenzen hinweg.

Im Inneren der Teilintervalle sind sie als Polynome natürlich unendlich oft differenzierbar.

Das heißt also, wir haben die Linear-Arns-Splines, stückweise lineare Funktionen, die stetig sind,

die kubischen Splines, stückweise kubische Funktionen, die zweimal stetig differenzierbar sind.

Dann geht das nach oben weiter und man kann auch unten natürlich die Treppenfunktionen einschließen,

sozusagen als S0 von Delta, als die Funktionen, die stückweise konstant sind und eben die Glattheit minus eins,

das heißt eben gar keine Glattheit haben an den Knoten.

Okay, jetzt waren wir bei den kubischen Splines und haben gesehen, schon allein durch das Durchzählen der Parameter

haben wir gesehen, zusätzlich zu den Interpolationsbedingungen müssen wir wahrscheinlich zwei weitere Bedingungen aufnehmen,

um den kubischen Interpolations-Spline, also wir interpolieren dann an den Knoten der Zerlegung,

inklusive der Randknoten, um den kubischen Interpolations-Spline eindeutig zu machen.

Da hatten wir aufgrund einer Integralidentität, sind wir da auf drei mögliche Bedingungen geführt worden.

Das eine war auch Interpolation der Ableitungen am Rand, Periodizität der Funktion, das ist der Fall eins.

Das heißt also stetig Gleichheit der Ableitungs-, natürlich der Werte selbst.

Wenn wir eine stetige Funktion interpolieren, werden wir natürlich gleiche Werte bei A und B vorgeben zum Interpolieren,

aber zusätzlich, dass eben dann die Funktion periodisch fortgesetzt auch glatt, sprich C2 wird,

wäre das die Forderung, die hier unter eins steht, dass auch die Ableitungswerte an A und B gleich sind

und die zweiten Ableitungen A und B. Dann bei zweitens, wie gesagt, Vorgabe der Ableitungen,

bei drittens Vorgabe der zweiten Ableitungen als Null.

Das entspricht sozusagen der linearen Fortsetzungen des Splines über das Interpolationsintervall hinaus.

Auf diese drei Bedingungen sind wir dadurch gestoßen, dass wir dann gesehen haben, unter einer von diesen drei Bedingungen

ist die Halbnorm, die in der L2-Norm die zweite Ableitung misst, die dementsprechend eben nur eine Halbnorm ist,

weil sie jede lineare Funktion auf Null bringt, ist diese Halbnorm minimal im interpolierenden Spline.

Und damit ist natürlich auch wiederum der interpolierende Spline, so er existiert, eindeutig.

Jetzt müssen wir uns nochmal darum kümmern, dass er überhaupt existiert, bzw. wie man algorithmisch jetzt so einen kubischen Interpolations-Spline ausrechnet.

Das wird auf eine relativ einfache Aufgabe, auf ein lineares Gleichungssystem führen,

was zumindest in zwei der drei Fällen auch eine schöne Struktur hat.

Dazu machen wir folgenden Ansatz. Wir gehen also von unserer Zerlegung Delta aus, haben da unsere N plus 1 Punkte,

x0 bis xn, haben unsere N plus 1 Werte, die wir interpolieren wollen und suchen jetzt diesen besagten Interpolations-Spline.

Und genauso wie wir ja die linearen Splines dadurch uns vorgeben, dass wir, das ist im Prinzip die Darstellung mit den Hutfunktionen,

dass wir die ersten Ableitungen uns auf den Teilintervallen vorgeben, die dann für lineare Funktionen natürlich konstant sind,

geben wir uns die zweiten Ableitungen vor.

Da wir die zweiten Ableitungen in den Knoten lokalisieren, haben wir damit sozusagen schon erzwungen,

dass die zweite Ableitung der Gesamtfunktion, so den eine entsteht, dann auch stetig ist.

Das heißt, wir geben uns die zweiten Ableitungen in den Knotenpunkten vor.

Also mj soll die zweite Ableitung mj in Knoten sein, die zweite Ableitung ist für einen Kubischen-Spline eine lineare Funktion,

deswegen ist diese Funktion dann auf den jeweiligen Teilintervallen durch die Vorgabe von mj und mj plus 1,

wenn ich mir das Teilintervall xj, xj plus 1 anschaue, vorgegeben.

Die Punkte müssen jetzt nicht equidistant sein und dementsprechend haben wir eventuell unterschiedliche Intervalllängen,

die bezeichnen wir mit hj plus 1, eben für die Intervalllänge des Intervalls von xj nach xj plus 1.

Okay, also wie gesagt, die Zweitstetigkeit der zweiten Ableitung ist jetzt hier schon inkorporiert.

Jetzt haben wir hier natürlich nur die zweite Ableitung, jetzt wollen wir die Funktion selbst,

das heißt wir müssen auf den einzelnen Teilintervallen zweimal aufintegrieren,

das heißt wir bekommen noch jeweils auf jedem Teilintervall einen konstanten und einen linearen Anteil mit unbekannten Parametern.

Das sieht dann so aus, wir integrieren einmal auf, dann werden aus den linearen Ansatzfunktionen für die zweite Ableitung quadratische,

es kommt eine konstante aj rein, wir integrieren nochmal auf, wird aus den quadratischen, wenn kubische, so soll es ja auch sein,